Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
(Uogólniony Autoregresyjny Model Warunkowej Heteroskedastyczności)
Zmienność - statystyczna miara rozproszenia zwrotów z aktywów w czasie, często ich odchylenie standardowe lub wariancja. Opisuje niepewność dotyczącą potencjalnych wahań cen aktywów wchodzących w skład portfela.
Zmienność miesięczna:
Zmienność roczna:
Typowym założeniem w modelowaniu szeregów czasowych jest stałość zmienności w czasie. Jednak w danych finansowych często występuje heteroskedastyczność, czyli „różna rozproszenie” — zmienność rośnie lub maleje w sposób systematyczny.
Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity (Uogólniony Autoregresyjny Model Warunkowej Heteroskedastyczności)
Robert F. Engle (laureat Nagrody Nobla 2003)
Biały szum (ang. White Noise) to proces losowy, w którym:
Formalnie:
\[ E(\epsilon_t) = 0 \]
\[ Var(\epsilon_t) = \sigma^2 \]
\[ Cov(\epsilon_t, \epsilon_{t-h}) = 0 \quad \text{dla} \quad h \neq 0 \]
Resztę modelu (residuum) oznaczamy jako \(\epsilon_t\). Jest to składnik losowy w modelu, który opisuje różnicę pomiędzy wartością rzeczywistą a wartością przewidywaną:
\[ y_t = \hat{y}_t + \epsilon_t \]
gdzie:
Zakładamy, że w chwili \(t\) chcemy przewidzieć zwrot \(r_t\), korzystając z informacji dostępnych do momentu \(t-1\).
Przewidywany zwrot to wartość oczekiwana (średnia) \(\mu_t\), więc model zapisujemy jako:
\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t \]
gdzie:
Podobnie możemy modelować zmienność w chwili \(t\) jako oczekiwaną wariancję na podstawie informacji z momentu \(t-1\).
Zmienność nie jest bezpośrednio obserwowalna, ale jest powiązana z błędem prognozy:
\[ \epsilon_t = \sigma_t z_t \]
gdzie:
\[ ARCH(p): \sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\epsilon_{t-i}^2} \]
\[ p \text{ - lag}\]
W skrócie: wariancja to ważona średnia poprzednich residuuów aż do lagu p. Stąd:
\[ ARCH(1): \sigma_t^2=\omega+{\alpha\epsilon_{t-1}^2} \]
\[ GARCH(p, q): \sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\epsilon_{t-i}^2} + \sum_{j=1}^{q}{\beta_j\sigma_{t-j}^2} \] Uwzględnia nie tylko kwadraty błędów z przeszłości (jak w ARCH), ale także przeszłe wartości wariancji (\(\sigma^2\)), co pozwala na modelowanie zmienności jako funkcji zarówno błędów, jak i poprzednich wariancji.
\[ GARCH(1, 1): \sigma_t^2=\omega+{\alpha\epsilon_{t-1}^2} + {\beta\sigma_{t-1}^2} \]
Wszystkie parametry muszą być nieujemne: \[ \omega \geq 0, \alpha \geq 0, \beta \geq 0 \]
→ zapewnia dodatnią wariancję
Musi być spełnione: \[ \alpha + \beta < 1 \]
→ zapewnia powrót do średniej
Model:
\[
\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2
\]
Dla stanu ustalonego (stacjonarność):
\[
E[\sigma_t^2] = E[\sigma_{t-1}^2] = \sigma^2,\quad E[\varepsilon_{t-1}^2] = \sigma^2
\]
Podstawiamy do wzoru:
\[
\sigma^2 = \omega + \alpha \sigma^2 + \beta \sigma^2 \\
\sigma^2 (1 - \alpha - \beta) = \omega
\]
Ostatecznie:
\[
\sigma^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta}
\]
Im większe ( \(\alpha\) ), tym silniejszy natychmiastowy wpływ szoku (reszty, błędu predykcji)
Dla ustalonego ( \(\alpha\) ), im większe ( \(\beta\) ), tym dłużej utrzymuje się efekt szoku
→ okresy wysokiej lub niskiej zmienności mają tendencję do utrzymywania się (persistencja)
Specyfikacja modelu – Zdefiniowanie założeń modelu GARCH (np. wybór rzędu, parametrów).
Dopasowanie modelu – Estymacja parametrów modelu na podstawie danych.
Prognozowanie – Wykorzystanie dopasowanego modelu do przewidywania przyszłych wartości wariancji lub szoków.
Model GARCH wymaga zdefiniowania kilku kluczowych założeń.
W bibliotece arch w Pythonie sprowadza się to do trzech głównych decyzji:
"normal""t" – rozkład Studenta"skewt" – skośny rozkład Studenta"constant" – stała średnia"zero" – zakłada średnią równą zeru"AR" – model autoregresyjny (np. AR(1), AR(2))"GARCH" – najczęściej stosowany model zmienności"ARCH""EGARCH", "HARCH", "FIGARCH" itd. Constant Mean - GARCH Model Results
==============================================================================
Dep. Variable: Close R-squared: 0.000
Mean Model: Constant Mean Adj. R-squared: 0.000
Vol Model: GARCH Log-Likelihood: 8752.21
Distribution: Normal AIC: -17496.4
Method: Maximum Likelihood BIC: -17472.0
No. Observations: 3332
Date: śr., kwi 23 2025 Df Residuals: 3331
Time: 01:31:30 Df Model: 1
Mean Model
============================================================================
coef std err t P>|t| 95.0% Conf. Int.
----------------------------------------------------------------------------
mu 1.0594e-03 4.025e-04 2.632 8.487e-03 [2.705e-04,1.848e-03]
Volatility Model
============================================================================
coef std err t P>|t| 95.0% Conf. Int.
----------------------------------------------------------------------------
omega 7.4332e-06 1.374e-12 5.409e+06 0.000 [7.433e-06,7.433e-06]
alpha[1] 0.0500 6.518e-03 7.671 1.712e-14 [3.722e-02,6.278e-02]
beta[1] 0.9300 3.844e-03 241.948 0.000 [ 0.922, 0.938]
============================================================================
Covariance estimator: robust
Learn Heteroskedasticity in 2 minutes
Dmitry Yemelyanov, Medium.com
White Noise
Wikipedia, White Noise
Autoregressive conditionalheteroskedasticity
Wikipedia, Autoregressive conditionalheteroskedasticity
GARCH Model: Definition and Uses in Statistics
Investopedia, Erika Rasure