Wprowadzenie do ARCH
Biały szum
Biały szum (ang. White Noise) to proces losowy, w którym:
- wartości mają średnią równą zero,
- wariancja jest stała: \(\sigma^2\),
- brak autokorelacji: obserwacje są niezależne w czasie.
Formalnie:
\[
E(\epsilon_t) = 0
\]
\[
Var(\epsilon_t) = \sigma^2
\]
\[
Cov(\epsilon_t, \epsilon_{t-h}) = 0 \quad \text{dla} \quad h \neq 0
\]
Residua
Resztę modelu (residuum) oznaczamy jako \(\epsilon_t\). Jest to składnik losowy w modelu, który opisuje różnicę pomiędzy wartością rzeczywistą a wartością przewidywaną:
\[
y_t = \hat{y}_t + \epsilon_t
\]
gdzie:
- \(y_t\) — obserwowana wartość w chwili \(t\),
- \(\hat{y}_t\) — wartość prognozowana przez model,
- \(\epsilon_t\) — residuum, czyli błąd modelu.
Notacja
Zakładamy, że w chwili \(t\) chcemy przewidzieć zwrot \(r_t\), korzystając z informacji dostępnych do momentu \(t-1\).
Przewidywany zwrot to wartość oczekiwana (średnia) \(\mu_t\), więc model zapisujemy jako:
\[
r_t = \mu_t + \epsilon_t
\]
gdzie:
- \(r_t\) — rzeczywisty zwrot w chwili \(t\),
- \(\mu_t\) — przewidywany zwrot (średnia) w chwili \(t\),
- \(\epsilon_t\) — residuum, czyli błąd prognozy.
Podobnie możemy modelować zmienność w chwili \(t\) jako oczekiwaną wariancję na podstawie informacji z momentu \(t-1\).
Zmienność nie jest bezpośrednio obserwowalna, ale jest powiązana z błędem prognozy:
\[
\epsilon_t = \sigma_t z_t
\]
gdzie:
- \(\sigma_t\) — prognozowana zmienność w chwili \(t\),
- \(z_t\) — losowa zmienna z procesu białego szumu.
Równania modelu ARCH
\[
ARCH(p): \sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\epsilon_{t-i}^2}
\]
\[ p \text{ - lag}\]
W skrócie: wariancja to ważona średnia poprzednich residuuów aż do lagu p. Stąd:
\[
ARCH(1): \sigma_t^2=\omega+{\alpha\epsilon_{t-1}^2}
\]
Równania modelu GARCH
\[
GARCH(p, q): \sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\epsilon_{t-i}^2} + \sum_{j=1}^{q}{\beta_j\sigma_{t-j}^2}
\] Uwzględnia nie tylko kwadraty błędów z przeszłości (jak w ARCH), ale także przeszłe wartości wariancji (\(\sigma^2\)), co pozwala na modelowanie zmienności jako funkcji zarówno błędów, jak i poprzednich wariancji.
\[
GARCH(1, 1): \sigma_t^2=\omega+{\alpha\epsilon_{t-1}^2} + {\beta\sigma_{t-1}^2}
\]
Warunki poprawności GARCH(1,1)
Wszystkie parametry muszą być nieujemne: \[ \omega \geq 0, \alpha \geq 0, \beta \geq 0 \]
→ zapewnia dodatnią wariancję
Musi być spełnione: \[ \alpha + \beta < 1 \]
→ zapewnia powrót do średniej
Wariancja długookresowa
Model:
\[
\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2
\]
Dla stanu ustalonego (stacjonarność):
\[
E[\sigma_t^2] = E[\sigma_{t-1}^2] = \sigma^2,\quad E[\varepsilon_{t-1}^2] = \sigma^2
\]
Podstawiamy do wzoru:
\[
\sigma^2 = \omega + \alpha \sigma^2 + \beta \sigma^2 \\
\sigma^2 (1 - \alpha - \beta) = \omega
\]
Ostatecznie:
\[
\sigma^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta}
\]
Dynamika modelu GARCH(1,1)
Im większe ( \(\alpha\) ), tym silniejszy natychmiastowy wpływ szoku (reszty, błędu predykcji)
Dla ustalonego ( \(\alpha\) ), im większe ( \(\beta\) ), tym dłużej utrzymuje się efekt szoku
→ okresy wysokiej lub niskiej zmienności mają tendencję do utrzymywania się (persistencja)
Intuicja:
- ( \(\alpha\) ): szybkość reakcji na nowe informacje
- ( \(\beta\) ): pamięć zmienności
